数学课笔记：双曲函数与极限

今天数学课上，我们学习了 双曲函数（Hyperbolic functions）及其反函数，同时也复习了极限的基本性质。这里记录一下我的推导过程。

双曲函数

定义如下：

$$
\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad
$$

$$
\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad
$$

$$
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}
$$

设
$$
x = \sinh y = \frac{e^y - e^{-y}}{2}
$$

两边同乘以$ (2e^y)$ 得：

$$
2xe^y = e^{2y} - 1
$$

整理成二次方程：

$$
e^{2y} - 2xe^y - 1 = 0
$$

解得：

$$
e^y = x \pm \sqrt{x^2+1}
$$

由于 $(e^y > 0)$，取正号：

$$
y = \ln \left(x + \sqrt{x^2+1}\right)
$$

因此：

$$
\operatorname{arsinh}x = \ln \left(x + \sqrt{x^2+1}\right)
$$

同理可得：

$$
\operatorname{arcosh}x = \ln \left(x + \sqrt{x^2-1}\right), \quad x \geq 1
$$

设
$$
x = \tanh y = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}} = \frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}
$$

整理：

$$
e^{2y} = \frac{1+x}{1-x}, \quad |x|<1
$$

因此：

$$
\operatorname{artanh}x = \frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}
$$

唯一性
$$
\lim_{x\to a} f(x) \text{ 如果存在，则唯一}
$$
有界性
若$ lim_{x\to a} f(x) = A \in \mathbb{R}$，则在某邻域内 $f(x)$ 有界。
保序性
若 $$\lim_{n\to\infty} x_n = a,\ \lim_{n\to\infty} y_n = b$$ 且 $$a>b$$，
则存在 $$N\in\mathbb{N}_+$$，使得当 $$n>N$$ 时有 $$x_n>y_n$$。
函数极限推广
上述结论都能从数列推广到函数。
无穷远处的极限
如果
$$
\lim_{x\to\infty} f(x) = A \in \mathbb{R}
$$
那么必须有
$$
\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} f(x) = A
$$

今天主要的收获就是：