柯西不等式的几种形式
二维形式的柯西不等式
$$
(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geqslant(ac + bd)^{2}
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表示当 a,b,c,d\in R 时的二维柯西不等式
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等号成立条件为 ad = bc。
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一般形式
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(\sum_{i = 1}^{n}a_{i}^{2})(\sum_{i = 1}^{n}b_{i}^{2})\geqslant(\sum_{i = 1}^{n}a_{i}b_{i})^{2}
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适用于 a_{i},b_{i}\in R，i = 1,2,\cdots,n 的情况
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等号成立条件是 b_{i}=0
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或存在数 k 使 a_{i}=kb_{i}（i = 1,2,\cdots,n）。
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向量形式
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|\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}|\leqslant|\vec{\alpha}|\times|\vec{\beta}|
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此为向量 \vec{\alpha},\vec{\beta} 间的柯西不等式
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等号成立条件是 \vec{\alpha},\vec{\beta} 共线。
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积分形式
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(\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx)(\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx)\geqslant(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^{2}
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用于 f(x),g(x) 在区间 [a,b] 上可积的情形
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等号成立条件是 f(x)=\lambda g(x)（\lambda 为常数）。
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二维形式柯西不等式的图示
